Cách Chứng Minh Tứ Giác Nội Tiếp

Hướng dẫn học sinh lớp 9 phương pháp chứng minc tứ giác nội tiếp bằng cách nhắc lại lý thuyết cùng giải các bài xích tập tân oán.

Bạn đang xem: Cách chứng minh tứ giác nội tiếp

Trước tiên chúng ta cần ôn lại kiến thức về tứ giác nội tiếp (định nghĩa, dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp).

Khái niệm tứ giác nội tiếp

Tứ giác tất cả bốn đỉnh nằm trên một đường tròn gọi là tứ giác nội tiếp (đường tròn).

Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp

Tứ giác nội tiếp gồm những tính chất dưới đây:

1) Có 4 đỉnh phương pháp đều 1 điểm như thế nào đó. Điểm đó là chổ chính giữa đường tròn ngoại tiếp tứ giác.

Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O; R) lúc đó OA = OB = OC = OD = R.

2) Có tổng 2 góc đối bằng 180°

Cho ABCD là tứ giác nội tiếp thì A+C= B+D = 1800.

3) Có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong tại đỉnh đối với đỉnh đó.

Cho tứ giác nội tiếp ABCD thì: góc bên cạnh đỉnh A bằng góc BCD, góc kế bên đỉnh B bằng góc ADC, góc không tính đỉnh C bằng góc BAD, góc không tính đỉnh D bằng góc BAC.

4) 2 góc thuộc nhìn 1 cạnh thì bằng nhau

Cho ABCD là tứ giác nội tiếp thì: góc DAC = góc DBC; góc DBA = góc ACD; góc CBD = góc CAD; góc BAC = góc CDB.

Các cách chứng minc tứ giác nội tiếp đường tròn

Để chứng minh một tứ giác là tứ giác nội tiếp ta cần chứng minc tứ giác đó bao gồm một trong những dấu hiệu dưới đây:

1) 4 đỉnh biện pháp đều 1 điểm

Chứng minch mang lại bốn đỉnh của tứ giác phương pháp đều một điểm như thế nào đó

Tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp đường tròn trung ương O ⇔ OA = OB = OC = OD

2) Có tổng 2 góc đối bằng 180°

Chứng minc tứ giác có tổng 2 góc đối bằng 180°

Tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp một đường tròn nếu góc A + góc C = 180° hoặc góc B + góc D = 180°

3) 2 góc nội tiếp cùng chắn 1 cung bằng nhau

Chứng minch từ hai đỉnh thuộc kề một cạnh thuộc quan sát một cạnh dưới hai góc bằng nhau.

Tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp đường tròn ⇔ góc DAC = góc DBC thuộc chắn cung DC

4) Tổng 2 góc đối bằng nhau

Nếu một tứ giác gồm tổng số đo nhị góc đối bằng nhau thì tứ giác đó nội tiếp được trong một đường tròn

Tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp đường tròn⇔góc A + góc C = gócB +gócD. Đây là trường hợp đặc biệt của biện pháp thứ 2.

5) Góc ngoại trừ tại đỉnh bằng góc đối của đỉnh đó

Tứ giác tất cả góc kế bên tại một đỉnh bằng góc vào tại đỉnh đối của đỉnh đó thì nội tiếp được vào một đường tròn.

Tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp đường tròn nếu góc ngoài đỉnh A bằng góc C, hoặc góc ngoài đỉnh B bằng góc D.

6) Tứ giác là các hình đặc biệt

Chứng minh tứ giác là một trong các hình đặc biệt. Nếu tứ giác là:

– Hình vuông, hình chữ nhật, hình thang cân là tứ giác nội tiếp.

– Hình thoi, hình bình hành ko là tứ giác nội tiếp.

Bài tập chứng minch tứ giác nội tiếp

Dưới đây là các bài bác tân oán về chứng minh tứ giác nội tiếp có lời giải nhưng mà Gia sư Tiến Bộ muốn chia sẻ với những em.

Bài 1.Cho đường tròn tâm O. Từ điểm A ở phía bên ngoài đường tròn (O) vẽ nhị tiếp tuyến AB và AC với đường tròn (B, C là nhị tiếp điểm). Trên BC lấy điểm M, vẽ đường thẳng vuông góc với OM tại M, cắt AB và AC lần lượt tại E cùng D. Chứng minch các tứ giác EBMO cùng DCOM nội tiếp được vào đường tròn. Xác định trọng tâm những đường tròn đó.

Giải

– Chứng minh tứ giác EBMO nội tiếp

Có OM ⊥ ME (gt) buộc phải góc OME bằng 90º

OB ⊥ BE (BE là tiếp tuyến của (O)) buộc phải góc OBE bằng 90º

Vậy, tứ giác EBMO bao gồm hai góc vuông thuộc quan sát cạnh OE đề nghị tứ giác EBMO nội tiếp vào đường tròn đường kính OE.

*

– Chứng minc tứ giác DCOM nội tiếp

Có OM ⊥ OD (gt) cần góc OMD bằng 90°

CD ⊥ OC (CĐ là tiếp tuyến của (O)) đề nghị góc OCD bằng 90°

Vậy, tứ giác DCOM bao gồm hai góc vuông thuộc nhìn cạnh OD đề nghị tứ giác DCOM nội tiếp vào đường tròn đường kính OD.

Bài 2.Cho đường tròn chổ chính giữa O đường kính AB = 2R. CD là đường kính di động. Gọi d là tiếp tuyến tại B của đường tròn (O), các đường thẳng AC, AD cắt d lần lượt tại Phường cùng Q.Chứng minch tứ giác CPQD nội tiếp được đường tròn.

Giải

Ta có:

*

Có: góc ADB bằng 90°(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

*

Từ (1) cùng (2) suy ra:

*

*

⇒ Tứ giác CPQD nội tiếp được đường tròn.

Bài 3.Qua điểm B nằm ở bên phía ngoài đường tròn (O), vẽ nhị tiếp tuyến BC và BD với đường tròn (O), (C, D là các tiếp điểm). Từ B vẽ cat tuyến BMN (M nằm giữa B với N, tia BN nằm giữa nhì tia BC và BO), gọi H là giao điểm của BO cùng CD.

a. Chứng minc BM.BN = BH.BO.

b. Chứng minh tứ giác OHMN nội tiếp.

Giải

a. Ta có: BC = BD (tính chất nhị tiếp tuyến cắt nhau)

OC = OD (bán kính đường tròn (O))

⇒ BO là đường trung trực của CD⇒ BO⊥ CD (1)

△BMC và△BCN có:

*

Nên△BMC đồng dạng△Bcông nhân (g.g)

*

Do (1) ta có△BCO vuông tại C, đường cao CH:

*
(3)

Từ (2) cùng (3)⇒ BM.BN = BH.BO.

b. Ta có: BM.BN = BH.BO (chứng minch trên)

△BMO và△BThành Phố Hà Nội có:

*

⇒△BMO đồng dạng△BHà Nội (c.g.c)

*

⇒ Tứ giác OHMN nội tiếp (hai góc bằng nhau cùng quan sát một cạnh).

Bài 4.Cho đường tròn tâm O và điểm M nằm kế bên đường tròn (O). Đường thẳng MO cắt (O) tại E cùng F (ME 2

Mặt không giống, hệ thức lượng trong tam giác vuông MCO mang lại ta:

MH.MO = MC2⇒ MA.MB = MH.MO

⇒ Tứ giác AHOB nội tiếp trong đường tròn.

Bài 5. Cho nửa đường tròn trung ương O đường kính AB = 2R. Gọi C, D là nhị điểm bên trên nửa đường tròn đó làm thế nào cho C thuộc dây AD cùng góc COD bằng 120º. Gọi giao điểm của hai dây AD với BC và E, giao điểm của những đường thẳng AC và BD là F.

a. Chứng minch bốn điểm C, D, E, F cùng nẳm bên trên một đường tròn.

b. Tính nửa đường kính của đường tròn đi qua C, E, D, F nói bên trên theo R.

Xem thêm: Danh Sách Các Hot Girl Việt Nam Hien Nay, Top 10 Hot Girl Xinh Đẹp Nhất Việt Nam

a. Ta có: C, D thuộc đường tròn nên:

Giải:

*

Hai điểm C và D cùng chú ý đoạn thẳng FE dưới một góc bằng nhau bằng 90ºphải 4 điểm C, D, E, F cùng thuộc đường tròn đường kính EF.

b. Gọi I là trung điểm EF thì ID = IC là nửa đường kính đường tròn đi qua 4 điểm C, D, E, F nói bên trên.

Ta có: IC = ID ; OC = OD (nửa đường kính đường tròn trung ương O)

Suy ra IO là trung trực của CD⇒ OI là phân giác của góc COD

*

*

Do O là trung điểm AB và tam giác ADB vuông tại D yêu cầu tam giác ODB cân tại O.

*

Do ID = IF phải tam giác IFD cân nặng tại I.

*

Tam giác AFB tất cả hai đường cao AD, BC cắt nhau tại E nên E là trực trọng tâm tam giác.

⇒ FE là đường cao thứ ba.

FE vuông góc AB tại H

*

Từ (1), (2), (3) suy ra:

*

Xét tam giác vuông IDO gồm góc IDO bằng 60º

Ta có:

*

Bài 6.Cho nửa đường tròn (O) đường kính BC. Lấy điểm A bên trên tia đối của tia CB. Kẻ tiếp tuyến AF với nửa đường tròn (O) (F là tiếp điểm), tia AF cắt tia tiếp tuyến Bx của nửa đường tròn (O) tại D (tia tiếp tuyến Bx nằm trong nửa mặt phẳng bờ BC chứa nửa đường tròn (O)). Gọi H là giao điểm của BF với DO, K là giao điểm thứ nhị của DC với nửa đường tròn (O).

a. Chứng minhh: AO.AB = AF.AD.

b. Chứng minc tứ giác KHOC nội tiếp.

Giải:

a. AF, BD là tiếp tuyến của đường tròn (O) cần AF⊥ OF, BD⊥ AB

Hai tam giác vuông AOF cùng ADB có góc OAF chung

Nên△AOF đồng dạng△ADB (g.g)

Suy ra:

*

*

b. Ta có: DB = DF (tính chất nhị tiếp tuyến cắt nhau)

OB = OF (chào bán kính)

Nên OD là đường trung trực của BF

Suy ra: OD⊥ BF

Lại gồm góc BKC bằng 90º(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O))⇒ Tứ giác KHOC là tứ giác nội tiếp.

Bài 7.Cho hình thang cân ABCD (AB > CD, AB // CD) nội tiếp vào đường tròn (O). Kẻ các tiếp tuyến với đường tròn (O) tại A cùng D chúng cắt nhau ở E. Gọi M là giao điểm của nhị đường chéo cánh AC với BD.

Chứng minch tứ giác AEDM nội tiếp được trong một đường tròn.

Giải:

Ta có:

*

*

Vậy, tứ giác AEDM nội tiếp được trong một đường tròn.

Bài 8. Cho hai điểm A, B cố định với góc xAy bằng 60º(B thuộc miền trong góc xAy, B không thuộc Ax, Ay. Đường thẳng BN cắt Ax tại H cùng đường thẳng BM cắt Ay tại K. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB, HK.

a. Chứng minch HK = 2MN

b. Chứng minh tứ giác MINJ nội tiếp được đường tròn.

Giải:

a. Tứ giác MNKH nội tiếp

*

⇒△AMN đồng dạng△AKH (g.g)

*

*

Vậy KH = 2MN.

b. Tứ giác AMBN nội tiếp đường tròn đường kính AB.

⇒ I là trọng tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác AMBN.

*

(góc ở trọng tâm với góc nội tiếp cùng chắn cung MN của đường tròn ngoại tiếp tứ giác AMBN)

*

Tứ giác MNKH nội tiếp đường tròn trung ương J đường kính HK nên:

*

Từ (1) và (2) có:

*

⇒ Tứ giác MINJ nội tiếp được vào đường tròn.

Bài 9.Cho góc vuông xOy và 2 điểm A, B bên trên Ox (OB > OA > 0), điểm M bất kì trên cạnh Oy (M≠O). Đường tròn (T) đường kính AB cắt tia MA, MB lần lượt tại điểm thứ hai: C, E. Tia OE cắt đường tròn (T) tại điểm thứ hai F.

a. Chứng minch bốn điểm: O, A, E, M nằm trên 1 đường tròn.

b. Tứ giác OCFM là hình gì? Tại sao?

Giải:

a.

*

Xét tứ giác OAEM có:

*

⇒ O, A, E, M cùng thuộc đường tròn.

b. Tứ giác OAEM nội tiếp, suy ra:

*

Mặt khác: A, C, E, F cùng thuộc đường tròn (T) suy ra:

*

Do đó:

*

*

Vậy tứ giác OCFM là hình thang.

Bài 10.Cho đường tròn trung tâm O đường kính AB. Trên tia đối của tia AB lấy điểm C (AB>BC). Vẽ đường tròn vai trung phong O’ đường kính BC. Gọi I là trung điểm của AC. Vẽ dây cung MN vuông góc với AC tại I, MC cắt đường tròn trung tâm O’ tại D.

a. Tứ giác AMcông nhân là hình gì? Tại sao?

b. Chứng minh tứ giác NIDC nội tiếp.

Giải:

a. Ta có: AB⊥ MN (gt)

⇒ I là trung điểm của MN

Mà IA = IC (gt)

Suy ra tứ giác AMCN là hình thoi bởi vì có nhì đường chéo AC cùng MN vuông góc với nhau tại trung điểm của mỗi đường.

b. Có góc ANB bằng 90º⇒ BN⊥ AN

Mà AN // MC (cạnh đối của hình thoi AMCN)

Suy raBN⊥ MC (1)

*

Ta lại có: góc BDC bằng 90º⇒ BD⊥ MC (2)

Từ (1) với (2) suy ra 3 điểm N, B, D thẳng mặt hàng.

⇒ góc NDC bằng 90º mà góc NIC bằng 90º(vì chưng AC⊥ MN)

Suy ra tứ giác NIDC nội tiếp đường tròn đường kính NC.